1. Antecedentes:

   a) Matemática prehelenica:
   Siglos VI-V a.C:
   La civilización China, India, Grecia Egipcia y Mesopotamica
   migran la matemática a ciencia independiente de objeto y metodología propios.

   b) Matemáticas elementales:
   Siglos VI-V a.C. a XVI: Nace
   - Las matemáticas constantes.
   - Geometría analítica y Análisis infinitesimal.

   c) Matemáticas de variables:
   - Descartes: Geometría analítica
   - Se forman las disciplinas actuales.
   - Newton y Leibniz:
   Crean el cálculo diferencial e integral.

   d) Matemáticas contemporáneas:
   Siglo XIX: .
   - Crecen formas espaciales y relaciones cuantitativas.

2. E G I P T O
   Desarrollo basado en:
   - Papiros matemáticos
   - Grabados en tumbas y templos.

   Usan: Numeración jeroglífica con
   - Números clave (1, 10, 100, 1000..)
   - Con símbolos: palos, lazos, figuras
   - Crean fracciones de forma 1/n
   - Resuelven ecuacion: x + a x = b
   - Cálculo de areas: Pi = 3'1605
   - Nace la trigonometría.

3. BABILONIA
   Mesopotamia
   Entre el Tigris y Eufrates
   2000 a 200 a.C.

   Usan:
   - Escritura Cuneiforme en tablillas.
   - Numeración posicional sexagesimal
   - Sin cero
   - Un símbolo representa varios números, según enunciado del problema.
   - Notación fraccionaria en aproximacion decimal. Base de algoritmos posteriores.
   Ejemplo Newton: Algoritmo de aproximación de raíces cuadradas.

   

   Desarrollaron
   - Campo de la potenciación
   - Número inverso, para la división.
   - Dos ecuaciones con 2 incógnitas.
   - Ecuacion cuadrática
   x2+px=q, p>0, q>0 y ax2+bx=c
   - Sumas de progresiones aritméticas y geométricas.
   - Ecuaciones diofánticas(Coeficiente entero).
   - Areas: Cuadrado, Círculo (Pi = 3)

4. C H I N A
   Obras matemáticas:
   - Chou Pei (horas solares) 1200 a.C
   - Matemática de 9 libros
   Son pergaminos de temas formulados en 246 problemas.
   Compendian agricultura, ingeniería, impuestos, cálculo, resolución de ecuaciones y propiedades de triángulos rectángulos.

   

   Numeración: Decimal jeroglífico.
   Con reglas de:
   - División de fracciones con reducción a común denominador.
   - Números negativos no aceptados en solución de ecuaciónes.
   - Sistema de ecuación lineal, con método similar a Gauss,
   - Tablero de cálculo: Colección de palillos bicolores de bambú

   Método del elemento celeste
   (Chou Shi Hié)
   Culminó el desarrollo algebraico Chino.
   Permitía hallar raíces:
   - Enteras,
   - Racionales y
   - Aproximaciones decimales
   para ecuaciones de forma:
   Pn(x)=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+ao .

   

   El Espejo precioso
   Chon Huo(s.XI) y Yang Hui(s.XIII):
   - Suma elementos de progresiones
   - Crea combinatoria, similar al triángulo de Tartaglia o Pascal.

   

5. I N D I A

   

   Siglos VIII-VII a.C:
   Aplicación geométrica para construir edificios religiosos
   - Usan sistema de numeración posicional y decimal.

   Siglos V-XII d.C: Destaca 4 nombres:
   - Aryabhata (s.VI),
   - Brahmagupta (s.VI),
   - Mahavira (s. IX) y
   - Bhaskara Akaria (s.XII).

   Reglas aritméticas de cálculo:
   - Usan números negativos.
   - Introducen el cero.
   - Validan las números irracionales.
   - Profundizan reglas de solución de ecuaciones lineales y cuadráticas.
   - Usan métodos de resolución de ecuaciones diofánticas,

   Es hindú el origen de numeración decimal y reglas de cálculo.

   

   

6. G R E C I A
   El reino helénico fue artífice cultural.
   - Tales de Mileto
   - Euclides de Alejandría,
   Crean un imperio cuya grandeza perdura hasta nuestros días.

   De problemas de cálculo aritmético, mediciones y construcciones geométricas.
   Se desprende una rama independiente: "logística". Que:
   - Opera con números enteros,
   - Extrae raices numéricas,
   - Cálcula con ayuda de dispositivos auxiliares,
   - Cálcula fracciones numéricas en ecuaciones de 1er y 2º grado,
   - Cálcula constructivos de arquitectura, geometría, agrimensura.

   Se conocien métodos de suma de progresiones aritméticas.
   - Tratan la divisibilidad de los números;
   - Introducen proporciones:
   - - Aritmética,
   - - Geométrica
   - - Armónica.

   

   Con el teorema de Pitágoras se encontró la serie ilimitada de ternas de números "pitagóricos"
   O sea, ternas de números que satisfacen la ecuación
   - a2+b2=c2.

   Geométría: Introducen métodos de demostración geométrica.
   - Teorema de Pitágoras,
   - Problemas sobre la cuadratura del círculo,
   - Trisección de un ángulo,
   - Duplicación del cubo
   - Cuadratura de la serie de áreas.
   - Demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 por la vía de reducción al absurdo.
   Esto condujo a la elaboración de la teoría de la divisibilidad.

   Nace la necesidad de crear una teoría matemática general tanto para los números racionales como para los irracionales.
   Por los números irracionales, se reformula la geometría, dando lugar al álgebra geométrica.

   

   El álgebra geométrica se limitada a objetos de segunda dimensión.

   Solución de los problemas geométricos:
   - La cuadratura del círculo,
   - La trisección de un ángulo,
   - La duplicación del cubo)
   - Las secciones cónicas,
   - cálculo aproximado del número pi,
   - Exhaución como predecesor del cálculo de límites o la introducción de curvas trascendentes.

   Las teorías matemáticas sin los problemas concretos o de un conjunto de problemas de un mismo tipo,
   crearon las condiciones para el reconocimiento de autonomía matemática.

   

   Método infinitesimal:
   Grecia Antigua, trato problemas cuya solución, requeria:
   - Los procesos infinitos,
   - La continuidad
   - Los pasos al límite,
   La primera forma del método de límites:
   - Demuestra la unicidad del límite.
   - No se soluciona el problema de existencia de límite.

   

   El método infinitesimal en Grecia:
   - Fue punto de partida para investigaciones de matemáticos de siglos XVI y XVII.
   - Trató los métodos de Arquímedes, en especial el cálculo de volúmenes.
   - Leibniz: "estudiando los trabajos de Arquímedes cesas de admirar los éxitos de los matemáticos actuales".

   El estudio de las secciones cónicas crecieron impulsados por
   - Apolonio de Perga,
   - Euclides y
   - Arquímedes,
   Constituyen "Edad de Oro" de la matemática del periodo de los años 300 y 200 a.C.

   

   En el dominio romano destaca la evolución en problemas de cálculo, con la "Métrica" de Herón de Alejandría, en formato de recetario de reglas:
   - Regla de extracción de raíces cuadradas y cúbicas;
   - Cálculo de áreas y volúmenes; fórmula de Herón para calcular el área del triángulo conocidos los tres lados.
   - Métodos de Diofanto que encontró soluciones a más de 50 clases de ecuaciones diofánticas.
   - Sobresalen: Gémines de Rodas (100 a.C), Teon de Alejandría (s. IV), Pappo de Alejandría (s. IV), Proclo (s.V) y Eutoquio (s. VI).

   Grecia, fija las matemáticas como ciencia, base de las ciencias ulteriores:
   - Algebra,
   - Análisis infinitesimal,
   - Geometría analítica,
   - Mecánica teórica y
   - Método axiomático.

MATEMATICA SUPERIOR APLICADA

• Unidad 1.

  SECUENCIAS:
  Conceptos de Secuencias o Sucesiones. La función sucesión. Descripción de sucesiones: Fórmula esquemática y Ley de recurrencias. Límites de la sucesión. Convergencia de las sucesiones. Propiedades de las sucesiones convergentes. Sucesiones crecientes y decrecientes. Sucesiones Acotadas Superior e Inferiormente. Puntos de Acumulación.. Sucesiones Monótonas. Criterio de Cauchy para las convergencias.

  Objetivos: Destacar y fundamentar el papel de los modelos matemáticos secuenciales como base del estudio de series. Evaluar las limitaciones de estos modelos teóricos.

• Unidad 2.

  SERIES INFINITAS:
  Definición de Series Infinitas. La convergencia de las series. Serie Algebraica. Serie Geométrica. Convergencia en las series geométricas. Condiciones de convergencia. La serie de orden P y serie armónica. Álgebra de las Series. Series infinitas de términos positivos. Criterios de Convergencia: Comparación, Cociente de D'alambert, Raíz Enésima, Integral de Cauchy, Raabe, Serie Alternante.

  Objetivos: Saber reconocer y utilizar los conceptos teóricos de las series matemáticas Familiarización con los métodos de análisis y proceso de información aplicando series.

• Unidad 3.

  SERIES de FUNCIONES:
  Conceptos de series de funciones. Definición de la serie de potencias. Propiedades de las series de potencias. Series de Mc Laurin. Serie de Taylor. Aplicaciones Taylor Series trigonométricas. Funciones Periódicas, Pares e Impares. Serie de Fourier. Funciones pares e impares. Serie de Fourier de medio intervalo en seno o en coseno. Aplicaciones a la Ingeniería

  Objetivos: Promover la idoneidad en diseño de herramientas ingenieriles basadas en series de funciones matemáticas. Usar los recursos y elementos que componen las series de funciones.

• Unidad 4.
  

  ECUACION DIFERENCIAL:
  Orden, grado, clasificación y soluciones de la ecuación diferencial. El Valor Inicial. Métodos de soluciones de ecuaciones ordinarias: Integración Directa, Separación de Variables, Sustitución , Ecuación Diferencial Exacta, Factor de Integración y Ecuación homogénea. Ecuación de segundo grado reducible. Ecuación Lineal de Primer Orden. Ecuación diferencial lineal de segundo orden. Wronskiano. Ecuación diferencial Lineal: Modelado. Ecuación diferencial Lineal de orden "n". OPERADORES. Operadores lineales. Dependencia lineal. Ecuación Auxiliar de Raiz "n". Metodos de: "Iteración" y de "Fracciones Parciales" Técnicas del operador. Solución complementaria y particular. Aplicaciones a la Ingeniería

  Objetivos: Afianzar el conocimiento sintáctico y semántico de la ecuación diferencial. Discernir la conveniencia de usar distintos métodos analíticos matemáticos

• Unidad 5

  ECUACION DIFERENCIAL
  y SERIES
  Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales por series de potencias. Series típicas de potencias. Operaciones con series de potencias: Suma, producto y Cociente. Difrenciación término a término en series de potencias. Principio de Identidad. Radio de Covergencia en la Serie de Potencias. Soluciones cerca de puntos ordinarios. Ecuación de Legendré. Ecuaciones de Bessel. Función Gamma. Aplicaciones a la Ingeniería.

  Objetivos: Analizar, desarrollar y operar con los conceptos avanzados de la ecuación diferencial. Comprender la vinculación de los métodos las ecuaciones diferenciales con las series.

• Unidad 6.
  

  TRANSFORMADA de LAPLACE
  Definición. Condiciones para su existencia: Continuidad en trozos, Orden exponencial, Teorema. Métodos de cálculo: Directo, Por Series, Por Tablas, Por Ecuaciones Diferenciales. Transformada Inversa de Laplace. Propiedades de las transformadas: Linealidad, Traslación, Cambio de Escala. Transformada de las derivadas. Transformada de Laplace de las Integrales. Multiplicación y división por T. Transformada para la Función Periódica. Teorema de la Convolución. Aplicaciones a las Ecuaciones Diferenciales: Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes, Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables, Ecuaciones ordinarias simultaneas. Aplicaciones a la Ingeniería. y Ejercicios. Tablas.

  Objetivos: Idoneidad para desarrollar soluciones aplicando las transformadas de Laplace. Promover la habilidad de diseñar modelos de aplicación en la ingeniería.